Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 : Trắc nghiệm định nghĩa đạo hàm có đáp án (Mới nhất)

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Định nghĩa [f’left( {{x_0}} right) = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{f({x_0} + Delta x) – f({x_0})}}{{Delta x}}] hay [f’left( {{x_0}} right) = mathop {lim }limits_{h to 0} frac{{f({x_0} + h) – f({x_0})}}{h}] (nếu tồn tại giới hạn).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

B. Đúng vì

 [begin{array}{l}Delta x = x – {x_0} Rightarrow x = Delta x + {x_0}\Delta y = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)\ Rightarrow f'({x_0}) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = frac{{fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{Delta x + {x_0} – {x_0}}} = frac{{fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{Delta x}}end{array}]

C. Đúng vì

Đặt [h = Delta x = x – {x_0} Rightarrow x = h + {x_0},] [Delta y = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)]

[ Rightarrow f'({x_0}) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = frac{{fleft( {{x_0} + h} right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{h + {x_0} – {x_0}}} = frac{{fleft( {{x_0} + h} right) – fleft( {{x_0}} right)}}{h}]

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có (Delta y = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right) = {left( {{x_0} + Delta x} right)^3} – {2^3} = {x_0}^3 + {left( {Delta x} right)^3} + 3{x_0}Delta xleft( {{x_0} + Delta x} right) – 8).

Với [{x_0} = 2] và (Delta x = 1) thì (Delta y = 19).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

[begin{array}{l}frac{{Delta y}}{{Delta x}} = frac{{fleft( x right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{x – {x_0}}} = frac{{2xleft( {x – 1} right) – 2{x_0}left( {{x_0} – 1} right)}}{{x – {x_0}}}\ = frac{{2left( {x – {x_0}} right)left( {x + {x_0}} right) – 2left( {x – {x_0}} right)}}{{x – {x_0}}} = 2x + 2{x_0} – 2 = 4x + 2Delta x – 2end{array}]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Với số gia [Delta x]của đối số x tại [{x_0} = – 1] Ta có

[Delta y = frac{{{{left( { – 1 + Delta x} right)}^2}}}{2} – frac{1}{2} = frac{{1 + {{left( {Delta x} right)}^2} – 2Delta x}}{2} – frac{1}{2} = frac{1}{2}{left( {Delta x} right)^2} – Delta x]

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có :

[begin{array}{l}Delta y = {left( {{x_0} + Delta x} right)^2} – left( {{x_0} + Delta x} right) – left( {x_0^2 – {x_0}} right)\ = x_0^2 + 2{x_0}Delta x + {left( {Delta x} right)^2} – {x_0} – Delta x – x_0^2 + {x_0}\ = {left( {Delta x} right)^2} + 2{x_0}Delta x – Delta xend{array}]

Nên [f’left( {{x_0}} right) = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{Delta y}}{{Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} frac{{{{left( {Delta x} right)}^2} + 2{x_0}Delta x – Delta x}}{{Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( {Delta x + 2{x_0} – 1} right)]

Vậy [f’left( x right) = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( {Delta x + 2x – 1} right)]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi  là số gia của đối số tại 0 sao cho .

Ta có .

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

(mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{x}{{sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} + 1}} = frac{1}{2})

Vậy (f'(1) = frac{1}{2}).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} left( {2x + 3} right) = 5)

(mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{{x^3} + 2{x^2} – 7x + 4}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} ({x^2} + 3x – 4) = 0)

Dẫn tới (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) ne mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} f(x) Rightarrow ) hàm số không liên tục tại (x = 1) nên hàm số không có đạo hàm tại ({x_0} = 1).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có [mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{3 – sqrt {4 – x} }}{4} – frac{1}{4}}}{x} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2 – sqrt {4 – x} }}{{4x}}]

   [ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{left( {2 – sqrt {4 – x} } right)left( {2 + sqrt {4 – x} } right)}}{{4xleft( {2 + sqrt {4 – x} } right)}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{x}{{4xleft( {2 + sqrt {4 – x} } right)}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{4left( {2 + sqrt {4 – x} } right)}} = frac{1}{{16}}.]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có  nên .

Do  nên  không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

[begin{array}{l}{ bullet _{}}fleft( 2 right) = 4\{ bullet _{}}mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} {x^2} = 4\{ bullet _{}}mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} left( { – frac{{{x^2}}}{2} + bx – 6} right) = 2b – 8end{array}]

[fleft( x right)] có đạo hàm tại (x = 2) khi và chỉ khi [fleft( x right)] liên tục tại (x = 2)

     [ Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right) = fleft( 2 right) Leftrightarrow 2b – 8 = 4 Leftrightarrow b = 6.]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có

[begin{array}{l}Delta y = fleft( {Delta x + x} right) – fleft( x right)\ = {left( {Delta x + x} right)^2} – 4left( {Delta x + x} right) + 1 – left( {{x^2} – 4x + 1} right)\ = Delta {x^2} + 2Delta x.x + {x^2} – 4Delta x – 4x + 1 – {x^2} + 4x – 1 = Delta {x^2} + 2Delta x.x – 4Delta x\ = Delta xleft( {Delta x + 2x – 4} right)end{array}]

Hướng dẫn giải:

Chọn A

(1) Nếu hàm số [fleft( x right)] có đạo hàm tại điểm [x = {x_0}]thì [fleft( x right)] liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số [fleft( x right)] liên tục tại điểm [x = {x_0}] thì [fleft( x right)] có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm [fleft( x right) = left| x right|] ta có [D = mathbb{R}] nên hàm số [fleft( x right)] liên tục trên [mathbb{R}].

Nhưng ta có [left{ begin{array}{l}mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{left| x right| – 0}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{x – 0}}{{x – 0}} = 1\mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{left| x right| – 0}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{ – x – 0}}{{x – 0}} = – 1end{array} right.]

Nên hàm số không có đạo hàm tại [x = 0].

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu [fleft( x right)] gián đoạn tại [x = {x_0}] thì chắc chắn [fleft( x right)] không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có [fleft( x right)] không liên tục tại [x = {x_0}] thì [fleft( x right)] có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có : [left{ begin{array}{l}mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{left| x right|}}{{x + 1}} = 0\fleft( 0 right) = 0end{array} right. Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{left| x right|}}{{x + 1}} = fleft( 0 right)]. Vậy hàm số [y = frac{{left| x right|}}{{x + 1}}] liên tục tại [x = 0]

Ta có : [frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = frac{{frac{{left| x right|}}{{x + 1}} – 0}}{x} = frac{{left| x right|}}{{xleft( {x + 1} right)}}](với [x ne 0])

Do đó : [left{ begin{array}{l}mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{left| x right|}}{{xleft( {x + 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{1}{{x + 1}} = 1\mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{left| x right|}}{{xleft( {x + 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{ – 1}}{{x + 1}} = – 1end{array} right.]

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của [frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}}] khi [x to 0].

Vậy hàm số [y = frac{{left| x right|}}{{x + 1}}] không có đạo hàm tại [x = 0]

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có

+) (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} left( {{x^2} + x} right) = 0).

+) (mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} left( {{x^2} – x} right) = 0).

+) (fleft( 0 right) = 0).

( Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} fleft( x right) = fleft( 0 right)). Vậy hàm số liên tục tại (x = 0).

Mặt khác:

+) (f’left( {{0^ + }} right) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{{x^2} + x}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} left( {x + 1} right) = 1).

+) (f’left( {{0^ – }} right) = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{{x^2} – x}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} left( {x – 1} right) = – 1).

( Rightarrow f’left( {{0^ + }} right) ne f’left( {{0^ – }} right)). Vậy hàm số không có đạo hàm tại (x = 0).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:[mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} ({x^2} + x) = 2]; [mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} (ax + b) = a + b]

Hàm có đạo hàm tại [x = 1] thì hàm liên tục tại [x = 1] [ Leftrightarrow a + b = 2] (1)

[mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} + x – 2}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} (x + 2) = 3]

[mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{ax + b – 2}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{ax – a}}{{x – 1}} = a](Do[b = 2 – a])

Hàm có đạo hàm tại [x = 1][ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 3\b = – 1end{array} right.].

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Hàm số liên tục tại (x = 1) nên Ta có [a + b = frac{1}{2}]

Hàm số có đạo hàm tại (x = 1) nên giới hạn 2 bên của [frac{{fleft( x right) – fleft( 1 right)}}{{x – 1}}] bằng nhau và Ta có

[mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{fleft( x right) – fleft( 1 right)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{ax + b – left( {a.1 + b} right)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{aleft( {x – 1} right)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} a = a]

[mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{fleft( x right) – fleft( 1 right)}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{frac{{{x^2}}}{2} – frac{1}{2}}}{{x – 1}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}{{2left( {x – 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{left( {x + 1} right)}}{2} = 1]

Vậy (a = 1;b = – frac{1}{2})

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: (mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{f(x) – f(0)}}{x} = mathop {lim }limits_{x to 0} xsin frac{1}{x} = 0)

Vậy (f'(0) = 0).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{{{sin }^2}x}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} left( {frac{{sin x}}{x}.sin x} right) = 0)

(mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} left( {x + {x^2}} right) = 0) nên hàm số liên tục tại (x = 0)

(mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{f(x) – f(0)}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{{{sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1) và

(mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{f(x) – f(0)}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{x + {x^2}}}{x} = 1)

Vậy (f'(0) = 1).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số liên tục tại ({x_0} = – 1) và

(frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} = frac{{{x^2} + x + left| {x + 1} right|}}{{x(x + 1)}})

Nên (mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} = mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0)

(mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} = mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} frac{{{x^2} – 1}}{{x(x + 1)}} = 2)

Do đó (mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} ne mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}})

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm ({x_0} = – 1).

Nhận xét: Hàm số (y = f(x)) có đạo hàm tại (x = {x_0}) thì phải liên tục tại điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta thấy với [x ne 0] thì [f(x)] luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên (mathbb{R}) khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại[x = 0].

Ta có: [mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) = 1;{rm{ }}mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} f(x) = b Rightarrow ][f(x)] liên tục tại[x = 0 Leftrightarrow b = 1].

 Khi đó: [f'({0^ + }) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{f(x) – f(0)}}{x} = 0;{rm{ }}f'({0^ – }) = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{f(x) – f(0)}}{x} = a]

[ Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ – }) Leftrightarrow a = 0].

Vậy [a = 0,b = 1] là những giá trị cần tìm.